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Archive-Name: fr/maths/maths-faq
Last modified: 22 septembre 2001
Version 2.11
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# FAQ fr.sci.maths (partie 1/3) #
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fr.sci.maths est un groupe de discussion destiné à recueillir les
discussions en français concernant les mathématiques.
Ce document rassemble les questions qui ont été fréquemment posées dans
ce forum.
Remarque sur la notation : le signe de multiplication utilisé ici est
l'astérisque *, comme souvent en informatique.
La version texte de ce document a été divisée en trois parties, afin de
faciliter sa difusion sur les forums francophones.
On trouvera, dans cette partie, les chapitres I à III inclus.
Pour les chapitres IV à V, se referer au document intitulé :
"[FAQ] fr.sci.maths - partie 2/3".
Pour les chapitre VI à VII, se referer au document intitulé :
"[FAQ] fr.sci.maths - partie 3/3".
Table des matières :
I Contradictions.
1. Est-ce que 0,9999... = 1 ?
2. J'ai réussi à montrer que 2=1.
3. Zéro puissance zéro égal un (0^0 = 1).
II Démonstrations.
1. Le petit théorème de Fermat.
2. ab et a+b premiers entre eux.
3. Irrationalité de la racine carrée de 2.
4. Irrationalité de la racine d'un nombre premier.
5. Irrationalité de e.
6. Transcendance de e.
7. Somme des puissances des premiers entiers.
8. Les nombres et les polynômes de Bernoulli.
9. Par combien de zéros le nombre 1998! se termine-t-il ?
10. Expression par radicaux des racines d'un polynôme de degré n.
III Géométrie.
1. Problème de la chèvre.
2. Problème (dit) de Napoléon.
-+- Début de la deuxième partie -+-
IV Énigmes.
1. Pièces et balance, traduit par Vincent Lefèvre.
2. Les âges du capitaine.
3. Quel est le nombre qui continue cette suite : 2, 12, 1112,...
4. Probabilité que 2 personnes soient nées le même jour.
5. Somme et produit de deux entiers.
6. Les deux échelles.
7. La cuve de vin.
V Questions fondamentales.
1. Les nombres premiers.
2. Pi.
3. Le grand théorème de Fermat.
4. La conjecture de Syracuse.
5. Les cardinaux des ensembles infinis - Partie I.
6. Les cardinaux des ensembles infinis - Partie II.
7. Qu'est-ce que le nombre e ?
-+- Début de la troisième partie -+-
VI Mathématiques et Ordinateur.
1. Comment écrire des formules mathématiques dans les News ?
2. Logiciels de mathématiques.
3. L'algorithme de CORDIC sur les calculatrices.
VII Conclusion.
1. Références.
2. Remerciements.
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Changements intervenus depuis la version précédente :
- Correction d'une erreur dans le paragraphe V.1 Les nombres premiers.
- Ajout d'un lien pour télécharger Maple V release 4, en version
étudiante.
Les changements sont précédés du caractère : |
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I Contradictions.
===============
1. Est-ce que 0,9999... = 1 ?
--------------------------
On note 0.9999... (avec les points de suspension) pour désigner un
"nombre" qui se termine par une infinité de 9.
Et donc, est-ce que 0.999... (avec une infinité de 9) est égal à 1 ?
OUI ! Voici 5 arguments pour vous en convaincre. Les 3 premiers n'ont
absolument aucune rigueur et ne peuvent pas être considérés comme des
démonstrations mathématiques, mais ils sont plus simples et plus
convaincants pour les gens qui n'ont pas forcément les connaissances
mathématiques nécessaires pour accepter les 2 autres.
a) On part de :
1/3 = 0,33333...
On multiplie par 3 des deux côtés :
3 * 1/3 = 3 * 0,33333...
Ce qui donne :
1 = 0,99999...
b) On pose x = 0,99999...
On multiplie par 10 des deux côtés : 10 * x = 9,99999...
On soustrait les deux expressions côté par côté :
10 * x - x = 9,99999... - 0,99999... = 9,00000...
Donc 9 * x = 9, c'est-à-dire x = 1, d'où 0,99999... = 1
c) Un argument très court se déduit du fait suivant :
"si 2 nombres réels sont différents, alors il en existe au moins un
3ème entre les deux, différent des deux autres".
(ce troisième nombre peut être la moyenne entre les deux)
Or, on ne peut pas intercaler de nombre entre 0,99999... et 1 ; ils
sont donc égaux.
Pour les arguments plus rigoureux, il faut commencer par définir
proprement ce qu'est 0,99999...
En écrivant 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... , on définit 0,9999...
comme une série géométrique (c'est-à-dire une somme dont chaque terme
est égal au précédent multiplié par une constante, ici 1/10 -
on dit que c'est une série géométrique de raison 1/10), et on écrit:
(inf. signifie "infini")
n
___
\ 9
0,99999... := lim ) ---
n->inf. /__ i
i=1 10
d) On peut facilement montrer que la somme des n premiers termes d'une
série géométrique de raison q et de premier terme a vaut :
n
1 - q
S = a * -------
n 1 - q
Cette somme tend vers une limite pour n tendant vers l'infini si et
seulement si q est strictement plus petit que 1, et cette limite est
alors :
a
S = -----
1 - q
Ici, a=0,9, q=1/10, ce qui est plus petit que 1, donc
0,9 10
S = -------- = 0,9 * -- = 1
1 - 1/10 9
Donc 0,99999...=1
e) L'argument le plus direct est de vérifier directement, à partir de
la définition de la limite, que 1 est la limite pour n tendant vers
l'infini de la série
n
___ 9
\ ---
S = /__ i
n i=1 10
Cela signifie qu'à condition de prendre suffisamment de termes dans
la série, on peut s'approcher d'aussi près de 1 que l'on veut
(c'est-à-dire rendre la différence | 1 - S_n | aussi petite que l'on
veut).
Mathématiquement, cette définition de limite s'écrit :
(eps signifiant "epsilon")
Quel que soit eps, il existe n_0 tel que pour tout n>n_0,
on a |1 - S_n | < eps
En calculant
| n |
| ___ 9 | 1
| \ --- | = -----
| 1 - /__ i | n+1
| i=1 10 | 10
on voit facilement que si n (nombre de termes) est suffisamment
grand, alors notre somme peut s'approcher d'aussi près que l'on veut
de 1, puisque leur différence, 1/(10^(n+1)) devient de plus en plus
petite quand n augmente.
Pour être plus précis, si on se donne eps, la différence maximale
que l'on s'autorise, alors il suffit de prendre:
(log représentant le logarithme en base 10)
n_0 > - log(eps) - 1
Si n > n_0, on aura alors :
| n |
| ___ 9 | 1
| \ --- | = ----- < eps
| 1 - /__ i | n+1
| i=1 10 | 10
la condition est respectée, donc la limite vaut 1, et 0,99999...=1
2. J'ai réussi à montrer que 2=1.
------------------------------
Deux petites démonstrations, fausses, bien entendu, mais qui peuvent
induire en erreur. N'oublions pas le vieil adage latin:
" ex falsus, quod libet "
(de quelque chose de faux, on peut trouver n'importe quoi)
a) Par la dérivée.
Soit x appartenant à R*
On a la relation: x^2 = x + x + x +...+ x , x fois.
On dérive: 2 * x= 1 + 1 + 1 + 1 +...+ 1 , x fois.
C'est-à-dire : 2*x = x. Et comme x<>0, on obtient 2=1.
L'erreur vient de la définition de la dérivée.
"x^2 = x + x + x + ... + x, x fois" n'a de sens que si x est entier.
Or, pour dériver en un point, il faut considérer un voisinage
de ce point (grosso-modo un intervalle ouvert contenant ce point)
qui, forcément, sera loin de ne contenir que des entiers.
Par exemple, si on essaye d'appliquer cela en x = 3 :
-- Il est exact que 3^2 = 3 + 3 + 3.
-- Par contre, pour x proche de trois mais x différent de 3,
x^2 est différent de 3 * x
-- la dérivée en x d'une fonction ne dépend pas de la valeur de la
fonction en x mais de son comportement local et le comportement
de x^2 en 3 est très différent de celui de 3 * x.
De plus, si tu dérives x+..+x (x fois), tu ne différencies pas le
'x fois', que tu considères donc comme une constante.
Quand j'étais au lycée on m'avait posé ce problème et j'avais trouvé
un moyen (tordu et absurde) de retomber sur ses pattes, en ajoutant
"x+..+x ('dérivée de x' fois)", comme ça on a aussi dérivé le
'x fois'.
b) Grâce aux polynômes.
Supposons que a et b soient des nombres réels non nuls tels que a=b.
Alors a^2=ab (on multiplie par a des deux côtés)
D'où a^2-b^2 = ab - b^2 (on soustrait b^2 des deux côtés)
D'où (a-b)(a+b)=b(a-b) (on met en évidence a-b)
D'où a+b=b (on simplifie par a-b)
D'où 2b=b (puisque a=b)
D'où 2=1 (puisque b est non nul)
Ici, l'erreur vient de la simplification par (a-b) qui est nul.
On a divisé par zéro, ce qui est impossible. Bien souvent, ces
démonstrations trouvent leur erreur dans une division par zéro.
c) En utilisant les puissances.
-1=(-1)^1=(-1)^(1/1)=(-1)^(2/2)=((-1)^2)^(1/2)=1^(1/2)=1
L'erreur vient du fait que l'on néglige, ici, la définition de la
puissance. En effet, on ne peut pas écrire a^q pour q rationnel et a
réel négatif.
Plus précisément, on peut expliquer le phénomène de la manière
suivante.
Définition 1:
Dans un ensemble stable par la loi multiplicative (pour être le plus
général possible), on note (pour un élément a de l'ensemble et pour
b entier naturel non nul) a^b pour désigner a multiplié b fois par
lui-même .
Définition 2:
Dans le cas ou on l'on veut mettre un rationnel en exposant, il faut
utiliser la définition de la puissance par l'exponentielle :
pour a réel strictement positif et b réel, a^b=exp(b*ln(a)).
On a en fait le droit d'écrire (-1)^(2/2). Mais pas d'utiliser la
loi a^(b*d)=(a^b)^d, car pour utiliser cette loi de composition, il
faut, du fait que d est ici rationnel, prendre la définition avec
l'exponentielle, qui interdit à a d'être négatif.
On a bien la loi de composition a^(b*d)=(a^b)^d pour la définition 1
et la définition 2, mais on peut l'appliquer (pour a, b et d réels):
-- Selon la définition 1, seulement si b et d entiers naturels
-- Selon la définition 2, seulement si a est strictement positif.
3. Zéro puissance zéro égal un (0^0 = 1).
--------------------------------------
Par convention, les mathématiciens posent que zéro à la puissance zéro
est égal à un (0^0=1). Mais, si l'on recherche pourquoi une telle chose,
on se retrouve face à un grand nombre de problèmes.
N'oubliez pas, ce n'est qu'une convention, et il peut être utile de
poser 0^0=0.
a) Approche topologique.
-- Définition par continuité.
On prendra comme définition de la puissance, la formule :
pour tous nombres réels x,y (avec x>0) x^y = exp[y ln(x)].
Une approche par continuité pose problème. En effet, on peut
choisir trois fonctions {x->x^0} ; {y->0^y} ou {x->x^x} pour
approcher par continuité (en passant à la limite) la valeur 0^0.
Or l'on a, pour tout nombre réel x non-nul x^0 = exp[0 ln(x)] = 1.
En prolongeant, par continuité, cette fonction quand x tend vers
zéro, on trouve: 0^0 = 1.
Si pour tout nombre réel y non-nul, on prolonge par continuité la
fonction y->x^y pour x=0. Et quand y tend vers zéro, on trouve:
0^0 = 0.
En outre, pour tout nombre réel x strictement positif, on a
x^x = exp[x ln(x)]. On cherchera, alors, la limite en zéro par
valeurs positives, notée 0+. Et l'on a donc :
Lim x^x = Lim exp[ x ln(x) ] = 1 car Lim x ln(x) = 0 et exp[0]=1.
x->0+ x->0+ x->0+
Il vient, donc : 0^0 = 1.
La question se pose alors : quelle valeur choisir pour 0^0 ?
-- Problèmes liés à cette définition.
Soit f une fonction continue définie sur un intervalle I contenant
0 et telle que pour tout x appartenant à I, f(x) > 0.
Soit g une fonction définie sur un intervalle J contenant 0.
On supposera également que Lim f(x) = Lim g(x) = 0
x->0+ x->0+
On peut alors écrire pour tout x appartenant à I inter J
f(x)^g(x) = exp[ g(x) ln(f(x))]. On constatera aisément que l'on
est en présence d'une forme indéterminée et donc qu'en choisissant
convenablement f et g on peut trouver n'importe quelle valeur
réelle positive finie, en passant à la limite par valeurs
supérieures.
Par exemple, soit A un réel strictement positif.
Il suffit de choisir f(x) = exp(-A/x) et g(x) = x + x²
On a bien les conditions voulues et on a
f(x)^g(x) = exp[(x + x²)ln(exp(-A/x)] = exp[-A (x+x²)/x].
C'est-à-dire : f(x)^g(x) = exp[-A(1+x)]
Et de là: Lim f(x)^g(x) = Lim exp[-A(1+x)] = exp[-A]
x->0+ x->0+
Ainsi en choisissant convenablement A, on peut trouver comme limite
n'importe qu'elle valeur réelle comprise entre 0 et 1.
En gardant f et en prenant g(x)= -( x + x²) on va trouver une
limite supérieure à 1.
On notera, néanmoins, que si l'on choisit une fonction {u : R ->R+}
telle que sa limite soit nulle quand x tend vers zéro par valeurs
positives, on a alors :
u(x)^u(x) = exp[ u(x) ln(u(x)) ] et par composition des limites
on trouve:
Lim u(x)^u(x) = Lim exp[ u(x) ln(u(x)) ] = exp[0] = 1
x->0+ x->0+
En effet, l'on a bien : Lim u(x) ln(u(x)) = Lim X ln(X) = 0
x->0+ X->0+
en effectuant le changement de variable X = u(x).
b) Approche algébrique.
On peut, pour essayer de comprendre pourquoi 0^0=1, revenir à la
définition donnée dans les petites classes de la fonction puissance
notée ^.
Soit maintenant comme définition de la puissance:
x^n = x * x *...* x (n fois)
Le nombre réel x est multiplié n fois par lui-même avec n un nombre
entier. Alors cette définition nous amène à la relation suivante:
Pour tous entiers n et m on a:
x^(n + m) = (x^n)(x^m) [1]
Si on prend m=0 et n différent de zéro, alors on a x^n = (x^0)(x^n).
Si x est différent de zéro, alors cela implique que x^0 = 1.
Il est alors très tentant d'étendre la relation à x = 0, et donc:
0^0=1
On notera que, si l'on pose 0^0=0, alors la relation reste vraie.
De plus la relation [1] implique la relation suivante:
(x^n)^m = x^(n*m) [2]
Encore une fois, si on prend n=0 dans la relation précédente on
trouve (x^0)^m = x^0. Et il est encore très tentant, pour x non nul,
de prendre x^0 = 1 et d'étendre cette relation à x = 0.
Mais on peut tout à fait prendre comme convention 0^0=0, sans que la
relation en soit modifiée.
c) Approche ensembliste.
Il faut d'abord définir qu'est ce qu'on entend par addition,
multiplication et puissance.
-- Qu'est ce que l'addition ?
On prend deux ensembles disjoints A et B ayant chacun |A| et |B|
éléments (lire 'cardinal' de A et 'cardinal' de B).
Et bien l'addition de |A| et |B|, c'est ce qu'on obtient en mettant
ensemble les éléments de A et B :
|A| + |B| = |A union B|
-- Qu'est ce que la multiplication ?
Si on veut dire 3.|A|, ça veut dire qu'on compte trois fois chaque
élément de A. On peut dire ça en disant que pour chaque x dans A on
compte (1, x), (2, x) et (3, x).
En clair, on compte les éléments de {1 , 2 , 3} x A.
Il est facile alors de voir que ce qu'on entend par multiplication,
|A| . |B| = |A x B|
-- Qu'est ce alors que l'exponentielle ?
Calculer |A|^n, c'est donc calculer |A x A x ... x A| (n fois),
c'est à dire dénombrer tous les n-uplets d'éléments de A.
Pour former un n-uplet, on choisit un premier élément dans A, x(1),
puis un deuxième x(2), puis..., puis un n-ième x(n). Et c'est fait.
C'est à dire qu'on choisit une application (ici notée x) de
{1,2...,n} dans A. On peut alors dire que |A|^|B| = |A^B| où A^B
est l'ensemble des applications de B dans A.
|A^B|=nombre d'applications de B dans A
-- Et 0^0 dans tout ça ?
Fort de ces définitions, on peut se demander ce qu'il se passe
quand A et B sont vides. Et bien, il existe exactement une
application de l'ensemble vide dans lui-même, c'est l'identité.
Il apparaît clairement que 0^0 = 1.
d) Conclusion.
On constate donc que l'approche par continuité, bien qu'apparemment
la plus simple, ne conduit qu'à des contradictions.
On ne peut donc pas définir 0^0 par des fonctions continues et par
passage à la limite.
Ainsi, par convention 0^0 est en général égal à 1, parce que cela
arrange nombre de formules, notamment celles sur les polynômes.
Mais ce n'est pas une généralité. Il peut en effet être plus utile
de poser que 0^0=0 dans certains cas. Nous avons vu que cela n'amène
aucune contradiction dans la théorie algébrique.
N'oubliez pas: c'est juste une convention d'utilité.
On notera que le forum anglophone possède également
une " Foire Aux Questions " sur le sujet, disponible à l'adresse:
http://www.cs.unb.ca/~alopez-o/math-faq/mathtext/node14.html.
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II Démonstrations.
===============
1. Le petit théorème de Fermat.
----------------------------
Enoncé :
Si p est un nombre premier, et x un entier quelconque non divisible
par p, alors le reste de la division de x^(p-1) par p est égal à 1.
Par exemple, si on prend p = 1999 qui est premier, et x = 1665, année de
la mort de Fermat, qui n'est pas divisible par 1999, alors le théorème
dit que le reste de la division de 1665^1998 par 1999 est égal à 1.
Ce théorème a sans aucun doute été démontré par Fermat. (Il me semble
qu'on n'a pas retrouvé la démonstration de Fermat, mais Euler en a
publié une dès le XVIIIe siècle).
a) Soient donc p un nombre premier et x un entier non divisible par p.
Modulo p, (x*1,x*2,...,x*(p-1)) est une permutation de (1,2...,p-1).
parce que x est inversible modulo p, car car il est premier avec p.
On a donc, modulo p,
(x*1)*(x*2)*(x*3)...*(x*(p-1)) = 1 * 2 * 3 * ... * (p-1)
C'est à dire (p-1)! * x^(p-1) = (p-1)!
Mais, comme p est premier, (p-1)! est inversible modulo p.
On obtient donc finalement
x^(p-1) = 1 modulo p.
b) Soit p un nombre premier.
Si 0 < k < p, comb(p,k) = p!/(k!*(p-k)!) est multiple de p.
Ainsi, le binôme de Newton donne tout de suite :
(1 + a)^p = 1 + a^p modulo p.
Sommons pour a variant de 0 à x-1. Les termes se détruisant deux à
deux, il reste seulement : x^p = x modulo p.
Si x n'est pas multiple de p, cela équivaut à x^(p-1) = 1 modulo p.
2. ab et a+b premiers entre eux.
-----------------------------
Enoncé:
Soient a et b deux nombres entiers relatifs tels qu'ils soient premiers
entre eux. Le problème est de montrer que ab et a+b sont premiers
entre eux.
a) Pour cette démonstration il faut connaître le lemme d'Euclide :
Soit p un nombre premier, et a, b deux nombres entiers relatifs.
Si p divise ab, alors p divise soit a soit b.
Soit p un nombre premier tel qu'il divise ab et a+b.
p divise ab, donc par le lemme d'Euclide, p divise soit a, soit b.
Supposons que p divise a, alors on a:
p divise a et p divise (a+b) donc p divise (a+b) - a = b.
Donc p divise a et p divise b. Or deux nombres premiers entre eux
n'ont pas de facteurs premiers communs. Comme a et b sont premiers
entre eux, il vient que ab et a+b sont premiers entre eux.
b) Voici une autre démonstration qui n'utilise pas les propriétés des
nombres premiers, mais uniquement la relation de Bézout :
a et b sont premiers entre eux, ssi il existe deux nombres entiers
relatifs u et v tels que au + bv = 1.
-- Lemme 1 : Si a et b sont premiers entre eux, alors a+b est premier
avec a et avec b.
De au + bv = 1, on déduit a(u-v) + (a+b)v = 1, donc a et a+b sont
premiers entre eux. De même pour b et a+b.
-- Lemme 2 : Si a est premier avec b et avec c, alors a est premier
avec bc.
De au + bv = 1, on déduit acu + bcv = c. Donc il existe deux nombres
entiers U=cu et V=v tels que (a)U + (bc)V = c donc tout diviseur
commun de a et bc divise c, donc divise pgcd(a,c)=1.
-- Conclusion : Soient a et b premiers entre eux ; alors, par
le lemme 1, a+b est premier avec a et avec b, donc, par le lemme 2,
a+b est premier avec ab.
c) En partant de la relation de Bézout, comme a et b sont premiers
entre eux, il existe u et v deux nombres entiers relatifs tels que
au + bv = 1 donc
1 = 1² = (au+bv)² = (au)² + 2abuv +(bv)²
= (au)² + abv² + abu² +(bv)²- abv² + 2abuv - abu²
= (a+b)(au² + bv²) - ab(u-v)²
Or (au² + bv²) et (u-v)² sont des nombres entiers relatifs, donc
par la relation de Bézout, on en déduit que a+b et ab sont
premiers entre eux.
3. Irrationalité de la racine carrée de 2.
---------------------------------------
La racine carrée de 2 est le premier exemple de nombre irrationnel
qu'aient rencontré les mathématiciens. Il est connu depuis l'Antiquité
grecque et cette découverte a suscité à l'époque beaucoup de perplexité.
Une preuve de ce résultat procède par l'absurde. Il semble que ce soit
le premier exemple de raisonnement par l'absurde dans l'histoire des
mathématiques.
Avant d'aborder la preuve proprement dite, nous devons établir ce petit
résultat intermédiaire :
Soit n un nombre entier. n est pair si et seulement si n^2 est pair
et n est impair si et seulement si n^2 est impair.
(Le lecteur familier des calculs modulo, reconnaîtra un cas
particulier du petit théorème de Fermat : n^2 = n [mod 2].)
Preuve :
Si n est pair, par définition, il existe un entier k tel que n = 2k.
On a alors n^2=4k^2 soit n^2=2*(2k^2). Ceci montre que n^2 est un
nombre pair.
Si n est impair, il existe un entier k tel que n=2k+1. Alors,
n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1 et n^2=2(2k^2+2k)+1, ce qui montre que n^2 est
impair.
Munis de ce résultat, nous pouvons prouver l'irrationalité de sqrt(2).
Nous souhaitons raisonner par l'absurde, c'est-à-dire que nous supposons
que sqrt(2) est rationnel. Nous allons montrer que cette hypothèse
conduit à une contradiction. Nous en déduirons donc que l'hypothèse est
fausse, c'est-à-dire que sqrt(2) est irrationnel.
Si sqrt(2) est rationnel, on peut donc écrire sqrt(2)=m/n où m et n sont
deux nombres entiers strictement positifs. Nous pouvons supposer de plus
que l'écriture m/n est la forme irréductible de cette fraction, c'est-à-
dire que m et n n'ont pas de diviseurs communs. En particulier, m et n
ne sont pas simultanément pairs.
Élevons au carré l'égalité sqrt(2)=m/n. Il vient 2=m^2/n^2 ou encore
m^2=2n^2. Ainsi, m^2 est un nombre pair. Or, nous avons vu qu'un nombre
et son carré ont toujours la même parité. Il s'ensuit que m est lui-même
un nombre pair. Nous pouvons donc poser m=2m'.
Notre égalité devient alors 4m'^2=2n^2 ou encore 2m'^2=n^2. n^2 est donc
un nombre pair. Comme plus haut, nous en déduisons que n est lui-même
un nombre pair.
m et n sont donc simultanément pairs, ce qui est contradictoire avec nos
hypothèses. Il s'ensuit que la racine carrée de 2 est un nombre
irrationnel.
4. Irrationalité de la racine d'un nombre premier.
-----------------------------------------------
Sachant que la racine carrée de 2 est irrationnelle, on peut
s'interroger sur la racine cubique de 2, la racine carrée de 3, d'un
nombre premier quelconque.
Chacun de ces nombres est en fait irrationnel, mais pour établir un
résultat relativement général sur ces questions, il est utile de
recourir à des outils un peu plus élaborés que dans la section
précédente : la décomposition factorielle d'un nombre entier et la
valuation p-adique sur les entiers.
On rappelle que pour tout nombre premier p la valuation p-adique d'un
entier x est le nombre noté v_p(x) défini comme le plus grand entier
naturel a tel que p^a divise x. C'est aussi l'exposant de p dans la
décomposition de x, en facteurs premiers.
On voit facilement que la valuation p-adique possède la propriété de
morphisme suivante : v_p(x*y) = v_p(x)+v_p(y), pour tous entiers x et y,
et donc aussi v_p(x^a) = a*v_p(x) pour a entier positif.
Une généralisation du problème de l'irrationalité de la racine carrée de
2 peut se formuler comme suit :
Soit a un nombre entier strictement positif. A quelle condition sur
l'entier positif x le nombre x^(1/a) (racine a-ième de x) est-il
rationnel ?
Posons x^(1/a)=m/n. Il vient m^a=x*n^a. Pour tout nombre premier p, on a
donc v_p(m^a) = v_p(x*n^a) et donc a*v_p(m) = v_p(x)+a*v_p(n) ou encore
v_p(x) = a*(v_p(m)-v_p(n)). v_p(x) est ainsi un multiple de a quel que
soit le nombre premier p. Il s'ensuit que x est lui-même la puissance
a-ième d'un entier.
Il est par ailleurs évident que la racine a-ième d'un nombre qui est
puissance a-ième d'un entier est rationnelle. On peut donc affirmer :
x^(1/a) est un nombre rationnel si et seulement si x est la puissance
a-ième d'un entier.
Ainsi, en particulier, les nombres entiers dont la racine carrée est
rationnelle sont les carrés d'entiers.
5. Irrationalité de e.
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L'irrationalité de e fut prouvée dès 1737 par Euler, toujours lui !
(voir la remarque 2, ci-après), de la façon suivante.
e = série, pour k variant de 0 à l'infini, de 1/k!
Donc, une première évidence : la somme partielle (appelons-la S_n),
pour k variant de 0 à n de cette série est strictement inférieure à e.
Ensuite, on majore la "queue" de la série (k variant de n+1 à l'infini),
en y remplaçant chaque 1/k! = (1/n!) * 1/((n+1)*(n+2)*(n+3)*...*k)
par (1/n!)* 1/(n+1)^k.
Cela donne une "bête" série géométrique dont la somme vaut finalement
1/(n!*n).
Résumons : S_n < e < S_n + 1(n!*n)
(N.B. ceux qui ont quelque idée de l'approximation rationnelle savent
déjà que c'est gagné : voir la remarque 1 ci-après).
On peut écrire cela comme e = S_n + r(n)/(n!*n), avec r(n) dans ]0,1[.
Supposons maintenant que e soit rationnel, et soit alors a/b son
écriture canonique.
Dans ce qui précède, en choisissant le cas particulier n = b, on obtient
donc :
a/b = S_b + r(b)/(b!*b), avec toujours r(b) dans ]0,1[.
Multiplions par b!. On trouve
(b-1)! * a = (somme, pour k variant de 0 à b, de b!/k!) + r(b)/b.
C'est absurde, parce que le premier membre est entier, le premier terme
du second membre l'est aussi (somme de termes tous évidemment entiers),
tandis que le "terme d'erreur" r(b)/b ne l'est pas.
Remarque 1.
On sait (c'est d'ailleurs quasi évident) qu'un rationnel alpha n'est
jamais approchable par une suite (illimitée) de rationnels s/t avec
une "vitesse" v supérieure à 1.
(je veux dire par là : |alpha - s/t| < constante/t^v, avec v > 1).
L'encadrement obtenu par Euler était donc bien entendu trop minuscule
pour " être honnête ", c'est à dire pour cerner un rationnel.
Généralisation : Liouville a montré en 1844 qu'un nombre algébrique
d'ordre d n'est pas approchable à une vitesse strictement supérieure
à d.
Il s'est servi de ce résultat (de démonstration élémentaire) pour
construire effectivement une infinité (non dénombrable) de nombres
transcendants.
Exemple : somme, pour k variant de 0 à l'infini, de 1/10^(k!).
Roth a mis un point final à cette histoire en prouvant qu'aucun
nombre algébrique de degré > 1 (c-à-d irrationnel) n'est approchable
à un ordre strictement supérieur ***à 2***.
Comme par ailleurs les réduites de la fraction continue pour ce
nombre (leur suite est illimitée, puisqu'il s'agit d'un irrationnel)
l'approchent précisément à l'ordre 2, ce théorème est optimal.
Il a valu à Roth l'une des médailles Fields de 1955.
Remarque 2.
Une réclame de la Mathematical Association of America annonce
la parution du livre " Euler, the Master of us all ". (ce titre est
une citation de Laplace). Le livre est écrit par William Dunham,
dans la série " Dolciani Mathematical Expositions ", bien connue de
tous les familiers de la MAA.
6. Transcendance de e
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La transcendance de e fut prouvée par Charles Hermite en 1873 (Lindemann
devait suivre avec pi en 1882, seulement). C'est beaucoup plus
difficile et horrible à écrire ici. Je résume donc brutalement.
Soit f(t) un polynôme (quelconque pour l'instant) et F(t) la somme de
toutes ses dérivées successives.
En intégrant par parties, on prouve d'abord (c'est très facile) que
exp(x) * (intégrale, de 0 à x, de exp(-t) * f(t)) =
- F(x) + exp(x) * F(0).
On suppose ensuite que e satisfait à l'équation algébrique à
coefficients entiers : somme, pour k variant de 0 à n, de a_k * exp(k)=0
(Ce n'est évidemment pas une restriction que de supposer a_0 non nul).
L'identité générale précédente donne alors :
somme, pour k variant de 0 à n,
de a_k * exp(k) * (intégrale, de 0 à k, de exp(-t) * f(t)) =
- somme, pour k variant de 0 à n, de a_k * F(k). (1)
Ici, coup de génie de Hermite : il choisit maintenant le polynôme
f(t) = (t^(p-1))/(p-1)!) * produit pour j variant de 1 à n, de (j-t)^p,
où p est un nombre premier supérieur à n et à |a_0|.
(C'est possible, puisqu'il existe une infinité de nombres premiers)
Il démontre ensuite que le second membre de (1) est un entier non
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